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Notes de cours et documents distribués aux étudiants en 2017—2018


  • Topologie et Calcul Différentiel (Ma-525)

Il s'agit d'un cours de troisième année de la Licence de Mathématiques, qui a lieu au premier semestre de l'année universitaire. 

Les notes de cours seront publiées ici (voir plus bas fichier Ma-525-Cours-Topologie-Calcul-Diff.pdf) au fur et à mesure de l'avancement du cours, et seront mises à jour régulièrement.

 

Le déroulement du cours est le suivant:

  1. Semaine du 11 septembre: Rappels sur la construction des nombres réels, ouverts, fermés, voisinage d'un point, adhérence, intérieur d'un ensemble.
  2. Semaine du 18 septembre: Rappels et exemples des notions vues à la séance précédente. Caractérisation des ensembles fermés ou ouverts.
  3. Semaine du 25 septembre: Ensemble dense, ensemble nulle part dense. Ensemble compact, caractérisation des compacts de ${\Bbb R}$.
  4. Semaine du 2 octobre: Ensemble connexe, caractérisation des connexes de ${\Bbb R}$. Pour préparer les séances d'interrogations orales du mardi 17 octobre, une liste de questions de cours à connaître est disponible en bas de cette page.
  5. Semaine du 9 octobre: Fonctions d'une variable réelle: continuité, notion de dérivée, fonctions höldériennes. L'image continue d'un compact ou d'un connexe. Définition d'un espace topologique abstrait. 
  6. Semaine du 16 octobre: espaces topologiques abstraits. Exemples. Notions de voisinage d'un point, adhérence, intérieur d'un ensemble. Notions de convergence d'une suite, fonctions continues d'un espace topologiqu evers un autre.
    Le mardi 17 octobre nous aurons les séances d'interrogation orale, ou « colles ». L'ordre de passage de chacun des étudiants est décrit dans le fichier PDF en bas de cette page. Les questions de cours à préparer sont dans ce fichier, et les exercices typiques que les étudiants devraient savoir faire sont dans ce fichier-ci.
  7. Semaine du 23 octobre: espaces métriques. Exemples. Notions de boule ouverte, boule fermée et de sphère centrés en un point. Convergence d'une suite dans un espace métrique. Notions de suite de Cauchy dans un espace métrique, le fait que toute suite convergente est de Cauchy. Notion d'espace métrique complet.
  8. Semaine du 6 novembre: il y aura un contrôle continu écrit le mardi 7 novembre entre 13h30 et 15h30. Le contrôle portera sur le cours fait jusqu'au 24 octobre inclus, et contiendra au moins une question de cours, sur le modèle de celles réunies dans le fichier que l'on trouvera ici.
  9. Semaine du 13 novembre: le cours du mardi 14 novembre est reporté au mardi 21 novembre.
  10. Semaine du 20 novembre: théorème du point fixe de Banach. Espaces vectoriels normés, espaces de Banach. Exemples. Applications (ou opérateurs) linéaires, critère de continuité d'un opérateur linéaire. Différentielle d'une fonction. Dérivée partielle, gradient, matrice jacobienne. Formule de Leibniz. Théorème des accroissements finis. Exemple d'application de la différentielle: résolution de l'équation $F(x) = 0$ lorsque $F$ est de classe $C^1$ et $F'(x)$ est un opérateur linéaire inversible.
  11. Semaine du 27 novembre: L'espace des fonctions $C(K ; {\Bbb R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ est un espace de Banach, lorsque $K$ est compact. Théorème de Weierstrass pour l'approximation d'une fonction continue par des polynômes. L'ensemble $GL(E)$ des isomorphismes d'un espace de Banach $E$ est un ouvert dans ${\cal L}(E)$. Exemple de calcul de la différentielle de l'application $A \mapsto A^{-1}$ définie sur $GL(E)$.
    Le mardi 5 décembre nous aurons les séances d'interrogation orale, ou « colles » entre 15h15 et 18h30. L'ordre de passage de chacun des étudiants est décrit dans le fichier PDF en bas de cette page. Les questions de cours à préparer sont dans ce fichier, et les exercices typiques que les étudiants devraient savoir faire sont dans ce fichier-ci.

  • Mathématiques Assistées par Ordinateur (Ma-350)

Il s'agit d'un cours de deuxième année de la Licence de Mathématiques, qui a lieu au premier semestre de l'année universitaire. 

Des notes de cours seront publiées ici ultérieurement.

Les feuilles d'exercices distribuées pendant les séances de TD sont disponibles en bas de cette page.

Le déroulement du cours est le suivant:

  1. Semaine du 11 septembre: Rappels sur la convergence des suites, fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, méthode de dichotomie pour la résolution de l'équation $f(x) = 0$ dans ${\Bbb R}$.
  2. Semaine du 18 septembre: Méthode de la sécante, methode de Newton pour la résolution de l'équation $f(x) = 0$ dans ${\Bbb R}$. Notion de point fixe, théorème du point fixe de Banach.
  3. Semaine du 25 septembre: Lien entre la résolution de $f(x) = 0$ et la détermination d'un point fixe pour une contraction stricte, judicieusement construite à partir de la fonction $f$. Exemples d'application.
  4. Semaine du 2 octobre:Convergence de la méthode de Newton. Exemples d'application et d'estimation de la vitesse de convergence.
  5. Semaine du 9 octobre: Fonctions de plusieurs variables. Dérivée partielle, gradient, matrice hessienne. Dérivée de fonctions composées. Exemples.
  6. Semaine du 16 octobre: Caractérisation d'un point de minimum local d'une fonction de plusieurs variables. Notion de produit scalaire dans ${\Bbb R}^n$, notion de norme associée à un produit scalaire. Définition d'une matrice symétrique, d'une matrice définie positive, d'une matrice semi-définie positive. Notion de valeur propre d'une matrice. Exemples.
  7. Semaine du 23 octobre: Caractérisation d'une matrice symétrique définie positive en termes de ses valeurs propres. Notion de fonction convexe, de fonction strictement convexe. Caractérisation d'une fonction convexe de classe $C^2$ en termes de sa matrice hessienne. Minimisation d'une fonction stricetement convexe et caractérisation de son point de minimum.
  8. Semaine du 6 novembre: le cours du mardi 7 novembre est reporté à une date ultérieure. Le prochain cours aura lieu le mardi 14 novembre à 8h.
  9. Semaine du 13 novembre: Exemples de minimisation de fonctions convexes. Droite de régression, et approximation par des fonctions triogonométriques.
  10. Semaine du 20 novembre: Méthode de descente pour la minimisation d'une fonction convexe. Exemple de résolution d'un système linéaire lorsque la matrice sous-jacente est symétrique définie positive. 
  11. Semaine du 27 novembre: Equations différentielles ordinaires. Théorème de Cauchy-Lipschitz. Exemples.

Fichier attachéTaille
Ma-525-questions-de-cours-3.pdf36.69 Ko
Ma-525-questions-de-cours-2.pdf35.66 Ko
Exercices-Colles-2.pdf135.54 Ko
Ma-525-cours-Topologie-Calcul-Diff.pdf499.48 Ko
Ma-525-questions-de-cours-1.pdf28.73 Ko
Ma-525-Exercices-Colles-1.pdf143.2 Ko
Ma-525-Horaires-Colles.pdf16.29 Ko
Ma-350-TD-1.pdf52.92 Ko
Ma-350-TD-2.pdf60.74 Ko